Im Sommer 2022 wechselte Louis Köster vom FC Schalke 04 zum FC Hansa Rostock und spielte zunächst in der U23 in der Oberliga Nordost. Zu seinem Debüt im Profi-Bereich kam er am 5. März 2023, als ihn Hansa-Trainer Patrick Glöckner in der 80. Minute des Zweitliga-Heimspiels gegen den Karlsruher SC (0:2) einwechselte. Seit Jahresbeginn 2023 hatte er mehrfach bei den Profis mittrainiert und bekam im Sommer 2023 einen Zweijahresvertrag bis 2025.
Köster begann beim FC Herdecke-Ende mit dem Fußballspielen. Im Alter von zwölf Jahren wechselte er in die Jugendabteilung von Borussia Dortmund, verließ den BVB allerdings ein Jahr später zum Rivalen FC Schalke 04. Dort durchlief er alle Jugendmannschaften und spielte sowohl in der B-Junioren- als auch in der A-Junioren-Bundesliga. Außerdem kam er dreimal zum Einsatz für die U16-Auswahl von Westfalen.
Seine Mutter, Katja Strauss-Köster, ist seit 2009 die Bürgermeisterin der Stadt Herdecke, wo Louis Köster auch aufgewachsen ist.